Matematicas para sistemas: trigonometria

TRIGONOMETRIA

RESEÑA HISTORICA

La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos.Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos, quién aparece 300 años después de la civilización griega. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo. Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema

trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos.

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ANGULOS Y SUS MEDIDAS

Decimos que un ángulo es la abertura que hay entre dos rectas (o segmentos) que se cortan en un punto llamado vértice.

En esta figura podemos observar la abertura creada por las dos rectas (simbolizada por los puntos discontinuos) y que representaría el ángulo formado.

Tipo de ángulos

Observaremos que hay diferentes tipos de ángulos. Los definimos a continuación:

Ángulo recto: es el ángulo formado por dos rectas dispuestas perpendicularmente.

Ángulo agudo: es un ángulo menor que un ángulo recto.

Ángulo llano: es el ángulo formado por dos rectas planas.

Ángulo obtuso: es un ángulo menor que un ángulo llano pero mayor que un ángulo recto.

Ángulo completo: es el ángulo formado por dos rectas superpuestas.

Ángulo cóncavo: es un ángulo mayor que un ángulo obtuso pero menor que un ángulo completo.

Medida de ángulos

Los ángulos los medimos con grados y se simboliza con el signo ∘ (por ejemplo: 93 grados lo expresamos como 93∘).

Para establecer esta medida dividimos lo que seria un ángulo completo en 360 grados, y a partir de esta definición podemos saber cuanto mide un grado.

Para entenderlo mejor recordemos que un ángulo completo es el ángulo formado por dos rectas que estén superpuestas:

Un ángulo completo es un ángulo de 360 grados.

Una vez establecida esta medida, podemos observar que:

Un ángulo recto mide 90∘.
Un ángulo agudo mide entre 0∘ y 90∘.
Un ángulo llano mide 180∘.
Un ángulo obtuso mide entre 90∘ y 180∘.
Un ángulo completo mide 360∘.
Un ángulo cóncavo mide entre 180∘ y 360∘.

y también observamos que:

Dos ángulos rectos forman uno llano (90∘+90∘=180∘).
Dos ángulos llanos forman uno completo (180∘+180∘=360∘).
Cuatro ángulos rectos forman uno completo (90∘+90∘+90∘+90∘=360∘).

Suma de ángulos

Como podemos ver, tenemos libertad para sumar ángulos, pero, ¿qué pasa si al sumarlos superamos un ángulo de 360 grados?

Pues bien, nosotros hemos definido los ángulos desde el ángulo de 0∘ hasta el de 360∘ y si nos fijamos, la posición relativa de dos rectas en posiciones de 0∘ y de 360∘ son semejantes:

Esto nos viene a decir que si al sumar dos ángulos superamos los 360∘ podemos buscar un ángulo de entre 0∘ y 360∘ y que sea semejante al de la suma.

Por ejemplo,

Ejemplo

Si sumamos un ángulo de 90∘ más uno de 360∘, obtenemos uno de 450∘, que es semejante a uno de 90∘

más

Metódicamente, si hacemos una suma de ángulos y supera los 360∘, para obtener el ángulo semejante situado entre 0∘ y 360∘ tenemos que restar sucesivamente 360∘ hasta encontrar un ángulo de como máximo 360∘.

Ejemplo

Realicemos la suma de los ángulos 90∘,180∘,66∘,25∘,300∘,21∘ y 80∘:

90∘+180∘+66∘+25∘+300∘+21∘+80∘=762∘

y ahora restemos 360∘ sucesivamente hasta encontrar un ángulo no mayor a 360∘:

762∘−360∘=402∘

402∘−360∘=42∘

Por consiguiente, la suma de todos los ángulos anteriores resulta un ángulo de 42 grados.

SISTEMAS DE MEDICION ANGULAR

Dadas las semirrectas li y lt
con origen común O,
llamaremos ángulo a la porción de plano generada por el
barrido de la semirrecta li hasta coincidir con lt.
Se designa: li: lado inicial de a
lt: lado terminal de a
O: vértice del ángulo
a
Diremos que un ángulo se encuentra en posición normal si
su vértice se ubica en el origen de coordenadas y su lado
inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas.
a
Si la rotación del lado terminal es en sentido contrario al de las agujas del reloj, la
medida del ángulo será positiva, en caso contrario la medida será negativa.
Generalmente se usan dos sistemas de medición:
El sistema sexagesimal, cuya unidad es el grado: º
Y el sistema radial cuya unidad es el radián: rad

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

La circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria o «círculo unidad» es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas, de un plano euclídeo o complejo.

Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas y funciones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de Pitágoras, x e y satisfacen la ecuación:

$Descripción: x^2 + y^2 = 1 = \mathrm{radio} = \mathrm{hipotenusa} \,$

RAZONES TRIGONOMETRICA

Seno: Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.

Coseno: Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por cos B.

Tangente: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tg B

Cosecante: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

Secante

Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

Cotangente

Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cotg B.

¿COMO APRENDER LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS?

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TRIANGULOS EN POSICON NORMAL

Es aquel ángulo trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el semieje de abscisas positivas (OA) y su vértice con el origen de coordenadas rectangulares (O); mientras que su lado final puede encontrarse en cualquier parte del plano.

Ues aquel ángulo trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el semieje de abscisas positivas (OA) y su vértice con el origen de coordenadas rectangulares (O); mientras que su lado final puede encontrarse en cualquier parte del plano.

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LINEAS TRIGONOMETRICAS

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad.

En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

QOP y TOS son triángulos semejantes.

QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

El profe nos comentó lo fácil que era obtener los signos de las funciones trigonométricas, ya que sólo bastaba determinar las de seno y coseno, y a partir de ellos los restantes. como ya no creemos en la palabra fácil optamos por "ver para creer".

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Con lo anterior, y aplicando las identidades trigonométricas fundamentales, considerando sólo su signo, obtenemos que:

	I	II	III	IV
seno	+	+	-	-
coseno	+	-	-	+
tangente	+	-	+	-
cotangente	+	-	+	-
secante	+	-	-	+
cosecante	+	+	-	-

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

sen(theta) = a / c	csc(theta) = 1 / sen(theta) = c / a
cos(theta) = b / c	sec(theta) = 1 / cos(theta) = c / b
tan(theta) = sen(theta) / cos(theta) = a / b	cot(theta) = 1/ tan(theta) = b / a

sen(-x) = -sen(x)

csc(-x) = -csc(x)

cos(-x) = cos(x)

sec(-x) = sec(x)

tan(-x) = -tan(x)

cot(-x) = -cot(x)

sen^{^2}(x) + cos^{^2}(x) = 1	tan^{^2}(x) + 1 = sec^{^2}(x)	cot^{^2}(x) + 1 = csc^{^2}(x)
sen(x y) = sen x cos y cos x sen y
cos(x y) = cos x cosy sen x sen y

tan(x

y) = (tan x

tan y) / (1

tan x tan y)

sen(2x) = 2 sen x cos x

cos(2x) = cos^{^2}(x) - sen^{^2}(x) = 2 cos^{^2}(x) - 1 = 1 - 2 sen^{^2}(x)

tan(2x) = 2 tan(x) / (1 - tan^{^2}(x))

sen^{^2}(x) = 1/2 - 1/2 cos(2x)

cos^{^2}(x) = 1/2 + 1/2 cos(2x)

sen x - sen y = 2 sen( (x - y)/2 ) cos( (x + y)/2 )

cos x - cos y = -2 sen( (x-y)/2 ) sen( (x + y)/2 )

Tabla Trig de Ángulos Ordinarios
ángulo	0	30	45	60	90
sen^{^2}(a)	0/4	1/4	2/4	3/4	4/4
cos^{^2}(a)	4/4	3/4	2/4	1/4	0/4
tan^{^2}(a)	0/4	1/3	2/2	3/1	4/0

Dado un triángulo abc, con ángulos A,B,C; a está opuesto a A; b opuesto a B; c opuesto a C,a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) (La Ley del Seno)

c^{^2} = a^{^2} + b^{^2} - 2ab cos(C) b^{^2} = a^{^2} + c^{^2} - 2ac cos(B)

a^{^2} = b^{^2} + c^{^2} - 2bc cos(A)

(La Ley del Coseno)

(a - b)/(a + b) = tan 1/2(A-B) / tan 1/2(A+B) (La Ley de la Tangente)

DEFINICION DE IDENTIDADES

Del latín identitas, la identidad es el conjunto de los rasgos propios de un individuo o de una comunidad. Estos rasgos caracterizan al sujeto o a la colectividad frente a los demás. Por ejemplo: “El mate forma parte de la identidad rioplatense”, “Una persona tiene derecho a conocer su pasado para defender su identidad”.

IDENTIDAD DE TRIGONOMETRIA PRINCIPAL Y AUXILIARES