NUMEROS COMPLEJOS

         
                                                   Reseña historica

         

                                          


Breve historia de los N´umeros Complejos Teniendo conocimiento de c´omo la raza humana ha adquirido su sabidur´ıa sobre ciertos hechos y conceptos, estaremos en mejor disposici´on de juzgar c´omo los ni˜nos adquieren tal conocimiento. George P´olya (1887-1985) Primeras referencias: SI-SXII La primera referencia escrita de la ra´ız cuadrada de un n´umero negativo la encontramos en la obra Stereometr´ıa de Her´on de Alejandr´ıa (Greciaaprox. 10-75) alrededor de la mitad del siglo I. Es este trabajo comparece la operaci´on √81 − 144 aunque es tomada como √144 − 81, no sabi´endose si este error es debido al propio Her´on o al personal encargado de transcribirlo. La siguiente referencia sobre esta cuesti´on se data en el a˜no 275 en la obra de Diophantus (aprox. 200-284) Arithmetica. En su intento de c´alculo de los lados de un tri´angulo rect´angulo de per´ımetro 12 y ´area 7, Diophantus plante´o resolver la ecuaci´on 336x2 + 24 = 172x, ecuaci´on de ra´ıces complejas como puede ser comprobado f´acilmente. Son los matem´aticos hind´ues los que dan las primeras explicaciones a este tipo de problemas. Mahavira, alrededor del a˜no 850, comenta en su tratado de los n´umeros negativos que ”como en la naturaleza de las cosas una catidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener ra´ız cuadrada”. Alrededor de 1150 es Bhaskara quien lo describe de la siguiente forma: El cuadrado de un n´umero, positivo o negativo, es positivo; la ra´ız cuadrada de un n´umero positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe ra´ız cuadrada de un n´umero negativo ya que un n´umero negativo no es un cuadrado. Primeros estudios: SXVI J. Cardan (1501 - 1576) En 1545, Jerome Cardan (Italia, 1501-1576), un matem´atico, f´ısico y fil´osofo italiano, publica ”Ars Magna” (El Gran Arte) en el cual describe un m´etodo para resolver ecuaciones algebraicas de grado tres y cuatro. Esta obra se convert´ıa as´ı en el mayor tratado de ´algebra desde los Babil´onicos, 3000 a˜nos antes, que dedujeron c´omo resolver la ecuaci´on cuadr´atica. Un problema planteado por Cardan en su trabajo es el siguiente: An´alisis Matem´atico VI - Curso 2006/2007 Breve historia de los N´umeros Complejos 2 Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyos producto sea... 40, es evidente que esta cuesti´on es imposible. No obstante, nosotros la resolvemos de la siguiente forma. Cardan aplicaba entonces su algoritmo al sistema de ecuaciones x + y = 10, xy = 40 dando como soluciones 5 + √−15 y 5 − √−15. Por multiplicaci´on probaba Cardan que el producto era 40. Esta es la primera constancia escrita de la ra´ız de un n´umero negativo y de su manejo algebraico. Cardan tambi´en tropieza con estas ra´ıces en las soluciones que presenta de la ecuaci´on c´ubica x3 = ax + b. Tales soluciones vienen dadas por: x = 3 b 2 + b 2 2 − a 3 3 + 3 b 2 − b 2 2 − a 3 3 . Para la ecuaci´on x3 = 15x + 4 esta f´ormula da como soluci´on x = 3 2 + √−121 + 3 2 − √−121, la cual Cardan di´o por v´alida. Como esta ecuaci´on tiene las ra´ıces 4, −2+√ 3 y −2−√ 3, interesaba la relaci´on con las propuestas por la f´ormula de Cardan. Fu´e el ingeniero hidra´ulico Rafael Bombelli (Italia, 1526 - 1572), unos treinta a˜nos despu´es de la publicaci´on de la obra de Cardan, quien introdujo un razonamiento que el mismo catalog´o de un tanto ”salvaje”. Plante´o que como −2 + √−121 y −2−√−121 s´olo se diferencian en un signo, lo mismo deb´ıa suceder con sus ra´ıces c´ubicas. As´ı escrib´ıa 3 −2 + √−121 = a + √ −b y 3 −2 − √ −121 = a − √ −b, donde por c´alculo directo obten´ıa que a =2y b = 1, luego 3 −2 + √ −121 + 3 −2 − √ −121 = (2 + √ −1) + (2 + √ −1) = 4. As´ı Bombelli ”daba sentido” a las expresiones ”sin sentido” de Cardan. Este razonamiento se convierte por tanto como el nacimiento de la variable compleja. Bombelli desarroll´o un c´alculo de operaciones con n´umeros complejos que se ajusta a los que conocemos en la actualidad. Comentar en este punto que comunmente se dice que fu´e la ecuaci´on cuadr´atica la que forz´o la definici´on de los n´umeros complejos. Con lo expuesto anteriormente debemos asignar a la ecuaci´on de orden tres tal papel. A pesar de lo aportado por Bombelli, su trabajo sobre esta materia (L’Algebra) fu´e ampliamente ignorado y considerado como misterioso e incierto. Sim´on Stevin apunt´o en 1585 lo siguiente en esta direcci´on: Tiene toda la legitimidad el que uno se ejercite en otras tareas y no pierda el tiempo en inexactitudes. Dos siglos y medio cubrieron las dudas sobre el significado y la autenticidad de los n´umeros complejos. No obstante, fueron estudiados por un gran n´umero de matem´aticos.

                                                 REPRESENTACIONES

 Definicion de un numero complejo

Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a v-1 el nombre de i (de “imaginario”).

FORMAS RECTANGULAR DE UN NUMERO COMPLEJO

 

Representación geométrica de un número complejo.Sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Su expresión en forma cartesiana es
z = (a,b). Consideremos el plano euclídeo real R², y en él un sistema de referencia ortonormal. A cada número complejo z = a + b·i le hacemos corresponder un punto del plano P(a,b); y recíprocamente, dado ese punto del plano le asociamos el complejo z = a + b·i. Tenemos pues una biyección entre el plano euclídeo real R² y el cuerpo de los núneros complejos C.
 

 

El punto del plano P(a,b) correspondiente al complejo z = a + b·i recibe el nombre de afijo de z. El ángulo que forma el vector OP con el eje de abcisas recibe el nombre de argumento de z.
Además, el módulo del vector OP es:

|OP| = (a² + b²)^1/2 = |z|

que coincide con la distancia del punto P al origen de coordenadas. 

 

Sea r = |z|. Si x es su argumento, se tiene que:

sen x = PA/OP = b/r ==> b = r·sen x
cos x = OA/OP = a/r ==> a = r·cos x Luego podernos escribir z = a + b·i = r·cos x + i·r·sen x = r·(cos x + i·sen x) 

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Forma trigonométrica y forma polar.

Esta expresión, z = r·(cos x + i·sen x), recibe el nombre de forma trigonométrica de z, donde r es el módulo de z y x su argumento. 
Definimos la forma polar del número complejo z = r·(cos x + i·sen x) como r_x. 

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Igualdad de números complejos en forma trigonométrica.

Veamos cuando dos complejos en forma trigonométrica, o en forma polar, son iguales: 
Sean z₁ = r·(cos x + i·sen x) y z₂ = r´·(cos y + i·sen y). Si z₁ = z₂, entonces r·(cos x + i·sen x) = r´·(cos y + i·sen y). Como dos números complejos iguales tienen el mismo módulo, entonces r = r´, y por tanto, (cos x + i·sen x) = (cos y + i·sen y), de donde:

cos x = cos y	==> y = x + 2·k·pi, con k C Z
sen x = sen y

Por tanto, r·(cos x + i·sen x) = r·[cos (x + 2·k·pi) + i·sen(x + 2·k·pi)], y en forma polar resulta: r_x = r_{x + 2·k·pi}

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Paso de la forma binómica a la forma polar

Hemos visto que z = a + b·i = r·(cos x + i·sen x) = r·cos x + i·r·senx, de donde:

a = r·cos x

b = r·sen x

Por otra parte, sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Por definición tenemos que: |z| = (a² + b²)^1/2 Además es: b/a = (r·sen x)/(r·cos x) = (sen x)/(cos x) = tg x Por tanto x = arc tg (b/a) estudiando el cuadrante de x según los signos de la parte real y de la parte imaginaria le z.

El numero complejo x+0i generalmente se escribe como (x) y representa un numero real (Q) , en cambioel numero complejo 0+yi generalmente se escribe (yi) y representa un numero imaginario puro.

Re (z) | x real

Im (z) | y imaginario

Conjugado de un número complejo

Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.

Representando el número complejo a + bi  y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .

Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal. Así se escribirá:

                                           

CARACTERISTICAS DE LAS POTENCIAS DE LOS IMAGINARIOS

En la potenciación de números imaginarios, existen equivalencias e identidades que serían las siguientes:

i⁰=1

i¹=i

i²=-1

i³=-i

i⁴=1

Estas notaciones se van repitiendo cada cuatro números, lo cual quiere decir que para saber cuál es un determinado valor de la potencia de un número imaginario o complejo, debemos dividir el exponente entre cuatro y el resto del exponente es la potencia equivalente según las identidades notables que anotamos anteriormente.

EJEMPLO

Por ejemplo: i²⁶

Tomamos 26 y dividimos para 4, lo que nos da: 6×4+2=26

Sabiendo entonces que 2 es el exponente indicado según su equivalencia, decimos que:

i²⁶ = (i⁴)⁶ × i² = 1⁶ × -1 = -1

Intenta averiguar cuál es el resultado de i²⁷.

                                                                  OPERACIONES

Igualdad de números complejos. Opuesto y conjugado.

Dos números complejos son iguales si lo son las partes reales e imaginarias respectivamente: a+bi=a'+b'i          ⇔        a=a'    y     b=b'   Dado el número complejo  z=a+bi  se define: su opuesto como el número complejo  −z=−a−bi su conjugado como el número complejo   z ¯ =a−bi Observa que el opuesto de z es simétrico a z respecto del origen conjugado de z es simétrico a z respecto al eje X.                                                   Ejemplos de las propiedades de la suma Propiedad cerrada: 3i + 4i = 7i. Propiedad conmutativa: 2i + 4i = 4i + 2i. Propiedad distributiva: (6i + 4i) × 5i = (6i ×5i) + (4i × 5i). Número neutro: 8i + 0 = 8i. Elemento opuesto o inverso aditivo: 3i -3i = 0. Ejemplos en el producto o multiplicación Propiedad conmutativa: (6i) (3i) = (3i) (6i) o lo que es lo mismo 6i × 3i = 3i × 6i. Propiedad distributiva: 3i × (5i × 4i) = (3i × 5i) × 4i. Elemento opuesto o Inverso multiplicativo: 4i × 1/4i = 1. Ejemplo de las propiedades de la potenciación Unidad imaginaria: √-1 = i. Esta es la propiedad que define al número imaginario i. Operaciones con números imaginarios Suma Para hacer operaciones con números imaginarios, en este caso la suma, seguimos las reglas básicas de la matemática agrupando los números reales y los números imaginarios respectivamente. (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i Como ejemplo tenemos: (5+3i)+(2+6i) = (5+2)+(3i+6i) = 7+9i Sustracción Para realizar la sustracción, también se deben agrupar los números imaginarios y reales. Por ejemplo: (5-2i)-(2+6i) = (5-2)+(-2i-6i) = 3-8i Multiplicación Para la multiplicación debemos multiplicar cada término del primer factor por los del segundo. (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi² = (ac-bd)+(ad+bc)i Podemos observar que el elemento bdi² se convierte en –bd por la propiedad de los números imaginarios en la cual i² es igual a -1. Como ejemplo tenemos: (3+2i)(6+7i) = 18+21i+12i+14i² = (18-14)+(21+12)i = 4+33i