FUNCIONES

RESEÑA HISTORICA

Una breve historia de las funciones En las matemáticas actuales el concepto de función se define del modo siguiente: Sean A y B conjuntos. Se llama función entre A y B a cualquier relación establecida entre los elementos de A y B de tal modo que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B. 1 Para representar las funciones se suele utilizar la notación: f : A → B para los conjuntos, f(x) = y para los elementos A se llama conjunto inicial y B es el conjunto final f(x) = y se expresa como y es la imagen de x a través de la aplicación f. Se pueden definir funciones entre cualquier tipo de conjuntos, pero las más interesantes son las que se establecen entre conjuntos de números. En los próximos temas vamos a estudiar funciones definidas en el conjunto de los números reales: las funciones reales (conjunto final) de variable real (conjunto inicial), f : R → R . La pregunta que cabe hacerse ahora es: ¿cómo se ha llegado hasta aquí?. Es importante entender que el concepto se desarrolló con el paso del tiempo; su significado fue cambiando y también la forma en que se definía, ganando precisión a través de los años. Lo más apropiado, quizás, sea comenzar en Mesopotamia2 . En las matemáticas babilónicas encontramos tablas con los cuadrados, los cubos y los inversos de los números naturales. Estas tablas sin duda definen funciones de N en N o de N en R, lo que no implica que los babilonios conocieran el concepto de función. Conocían y manejaban funciones específicas, pero no el concepto abstracto y moderno de función3 . En el antiguo Egipto también aparecen ejemplos de usos de funciones particulares. Una tabla con la descomposición de 2/n en fracciones unitarias4 para los impares n desde 5 hasta 101 aparece en el Papiro Rhind o Papiro Ahmes, de unos 4000 años de antigüedad considerado como el primer tratado de matemáticas que se conserva.

RELACIONES Y FUNCIONES

PAR ORDENADOS :

Es un conjunto de dos elementos A y B que tiene un orden , A es primera componente y B es la segunda componente.

PRODUCTO CARTESIANO :

Sean A y B conjunto no vacios bamos a denominar producto cartesianoentre A y B al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente perteneceal conjunto A y la segunda al conjunto B.

RELACION :

Es la correspondencia que se establece entre los elementos de los conjuntos A y B que no son vacios ,
donde conjunto A es punto de partida y B es punto de llegada.

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DOMINIO DE UNA RELACION :

Son todos los elementos del conjunto de partida que tiene relacion con el conjunto de llegada y se la representa simbolicamente (don R ).

RANGO :

Son todos los elementos del conjunto de llegada que tiene relacion con el dominio del conjunto de parida , se o representa (rg R).

FUNCIONES :

PUNTO : el dominio de toda relacion sea igual ha A.

2.PUNTO : para todo x que pertenece ha A , para todo Y que pertenece a B {(x R y 1) } y {(x R y 2) } entonces ( y1 = y2 )

X= independiente

Y= dependiente

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TIPOS DE FUNCIONES :

INYECTIVA : F es una funcion inyectiva si a cada elemento del rango es imagen exclusiva de un unico elemento del dominio ademas es necesario que N(A) sea MENOR o IGUAL a N(B) para poder construir esta funcion.

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FUNCION SOBREYECTIVA : F es una funcion sobreyectiva si el rango de F es B , ademas es necesario que N(A) sea MAYOR o IGUAL que N(B).

FUNCION DE VARIABLE REAL

Una función real

f\,

es una función matemática cuyo dominio y codominio están contenidos en el conjunto de los números reales denotado como

\mathbb{R}

, es decir, es una función:

f:S\subseteq\mathbb{R}\rightarrow S'\subseteq\mathbb{R}

En general se trata de funciones continuas, o bien discontinuas cuando están representadas por tramos, a diferencia de las funciones discretas, que son siempre discontinuas.

DOMINIO DE FUNCION DE VARIABLE REAL

Dada la función real de variable real

f:A⊆R⟶R donde

y=f(x), llamamos dominio de

fal conjunto A.

Es decir,

A=Dom(f)={x∈R/∃f(x)}

Ejemplo:

Dada la función real de variable real

f:A⊆R⟶R donde

y=f(x)=x−2−−−−√. Calcular el dominio de la función.

Planteamos la inecuación:

x−2≥0

De donde se obtiene:

x≥2

Así, el dominio de la función dada es:

Domf={x∈R/x≥2}=[2,+∞[

RANGO DE FUNCION DE VARIABLE REAL

son los elementos de Y que se relacionan con X

ejemplo :

GRAFICA DE FUNCION DE VARIABLE REAL

Es el conjunto de puntos o pares ordenados de A x B ,tales que sus cordenadas (x,y) pertenecen a F.

EL CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL

Una curva en el plano cartesiano representa una funcion si cualquier recta vertical intersecta la grafica, como maximo en un punto.

TIPOS DE FUNCIONES

Funciones pares e impares

Se dice que una función es par si f(x) = f(-x), en el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la función es impar.

Ejemplos 1:

La función y(x)=x es impar ya que:

f(-x) = -x

pero como f(x) = x entonces:

f(-x) = - f(x).

Ejemplo 2:

Otra función impar es y = 1/x

Cuando f(x) = -f(-x)

Ejemplo 3:

La función f(x)=x² es par ya que f(-x) = (-x)² =x²

Función estrictamente creciente en un intervalo

Una función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es estrictamente creciente en un intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , si para dos valores cualesquiera del intervalo, $x_1$ y $x_2$ , se cumple que:

$\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 <pre> \, - \, x_1} > 0 </pre> $

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia arriba:

$x_2 > x_1 \Rightarrow \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) > \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)$

Una función $f$ es estrictamente creciente en el punto de abcisa $x \, = \, a$ si existe algun número positivo $h$ tal que $\mathrm{f} $ es estrictamente creciente en el intervalo $\left( <pre> \, x \, - \, h, \, x \, + \, h \, </pre> \right)$ .

De esta esta definición se deduce que si $\mathrm{f}$ es derivable en $x \, = \, a$ y $f$ es estrictamente creciente en el punto de abcisa $x \, = \, a$ , entonces $\mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \ge 0$ .

Función creciente en un intervalo

Una función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es creciente en un intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , si para dos valores cualesquiera del intervalo, $x_1$ y $x_2$ , se cumple que:

$\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 <pre> \, - \, x_1} \ge 0 </pre> $

Función estrictamente decreciente en un intervalo

Una función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es estrictamente decreciente en un intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , si para dos valores cualesquiera del intervalo, $x_1$ y $x_2$ , se cumple que:

$\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 <pre> \, - \, x_1} < 0 </pre> $

Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia abajo:
$x_2 > x_1 \Rightarrow \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) < \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)$

Una función $f$ es estrictamente decreciente en el punto de abcisa $x \, = \, a$ si existe algun número positivo $h$ tal que $\mathrm{f} $ es estrictamente decreciente en el intervalo $\left( <pre> \, x \, - \, h, \, x \, + \, h \, </pre> \right)$ .

De esta esta definición se deduce que si $\mathrm{f}$ es derivable en $x \, = \, a$ y $f$ es estrictamente decreciente en el punto de abcisa $x \, = \, a$ , entonces $\mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \le 0$ .

Función decreciente en un intervalo

Una función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es decreciente en un intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , si para dos valores cualesquiera del intervalo, $x_1$ y $x_2$ , se cumple que:

$\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 <pre> \, - \, x_1} \le 0 </pre> $

Funciones periódicas

Las funciones periódicas son funciones que se comportan en una manera cíclica (repetitiva) sobre un intervalo especificado (llamado un periodo). La gráfica se repite a si misma una y otra vez así como es trazada de izquierda a derecha. Enn otras palabras, la gráfica completa puede ser formada de copias de una porción particular, repetida en intervalos regulares indefinidamente. Si f es conocida sobre un periodo entonces es conocida en todas partes.
Más formalmente, una función f es periódica si existe un número real P tal que f(x + P) = f(x) para todas las x.

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Las funciones definidas a trozos se llaman de esta manera porque tienen una definición diferente en cada tramo en el que están definidas. Por ejemplo,

es una función definida a trozos, en cada “trozo” de su dominio tiene una definición.

Para valores de la variable menores o iguales que −2 la función está definida como x² + x − 4 ; si la variable está entre −2 y 3 la función es x + 1 y entre 3 y 10 es igual a 2.5.

Observa, además, que su dominio de definición es (-∞, 10), porque no está definida para valores mayores o iguales que 10.

Su gráfica se compone de varios tramos o trozos.

El trazado “manual” habría que hacerlo a partir de tablas para cada uno de los tramos, representando los puntos y uniéndolos con el criterio adecuado (segmentos rectilíneos o curvos) en los intervalos correspondientes.

En este tipo de funciones tiene especial interés el estudio de su continuidad, su crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos.

QUÉ HACER

En la primera escena puedes ver la gráfica de la función definida según la fórmula

con valores iniciales de los deslizadores a = -0.5, b = 1, c = -1, es decir, la gráfica que se ve es:

La primera parte de la actividad consiste en el estudio de las propiedades fundamentales de esta función en lo referido a su dominio, continuidad, crecimiento y decrecimiento y máximos y mínimos.

Después analizarás cuáles han de ser los valores de los parámetros para que la función sea continua.

En la segunda parte de la actividad resolvererás ejercicios de este mismo tipo en los que tú tendrás que dibujar la gráfica.

FUNCIONES LINEALES

Para otros usos de este término, véase Función lineal (desambiguación).

No debe confundirse con Aplicación lineal.

Función lineal.

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

f (x) = mx + b

donde

m

b

son constantes reales y

x

es una variable real. La constante

m

es la pendiente de la recta, y

b

es el punto de corte de la recta con el eje

y

. Si se modifica

m

entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica

b

, entonces la línea sences la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.
Algunos autores llaman función lineal a aquella con

b = 0

de la forma:

f (x) = mx

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

f (x) = mx + b

cuando

b

es distinto de cero, dado que la primera (

b = 0

) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.

z Ejemplos

Representa gráficamente las siguientes funciones lineales y = 2x y y = - 3x + 4

Sugerencia: Primero elabora una tabla de valores, luego ubica los pares de puntos de la tabla en el plano cartesiano y finalmente únelos con una línea recta.

Los valores de x son asignados arbitrariamente o a tu gusto "te aconsejo usar valores pequeños para facilitar las operaciones" luego en la ecuación remplazamos la x por cada valor de la tabla.

1. y = 2x
Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.

Para x = - 2, y = 2(-2) = -4 quedando la pareja (-2 , -4)

Para x = 1, y = 2(1) = 2 quedando la pareja (1 , 2)

X	*y = 2x*
-2	-4
-1	-2
0	0
1	2
2	4

2. y = - 3x + 4
Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.

Para x = - 1, y = -3(-1)+ 4 = 7 quedando la pareja (-1 , 7)

Para x = 2, y = -3(2) + 4 = -2 quedando la pareja (2 , -2)

X	*y = - 3x + 4*
-1	7
0	4
1	1
2	-2
3	-5

FUNCIONES CUADRATICAS

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida por:

y = ax^2 + bx + c \,

con

a \ne 0

.¹
Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo").
El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.
La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida es una familia de funciones cúbicas.

El director de un teatro estima que si cobra 30 € por localidad, podría contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio.

Observa la tabla:

euros descuento	0	1	2	x
Precio	30	30-1	30-2	30-x
Nº espectadores	500	500+100.1	500+100.2	500+ 100x
Ingresos	30.500	(30-1)·(500+100.1)	(30-2)·(500+100.2)	(30-x)·(500+100.x)

Los ingresos obtenidos son

siendo x el nº de euros de descuento, en el precio de la entrada.

Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x² + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .

Las funciones f(x) = x² + 6x, g(x) = x² + 16 y G(x) = - 100 x² + 2500 x + 15000

que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas.

Gráfica de las funciones cuadráticas

La función cuadrática más sencilla es f(x) = x² cuya gráfica es:

x	-3	-2	-1	-0'5	0	0'5	1	2	3
f(x) = x²	9	4	1	0'25	0	0'25	1	4	9

Esta curva simétrica se llama parábola.

Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.

Dibujemos la gráfica de f(x) = x² -2 x - 3.

x	-1	0	1	2	3	4
f(x)	0	-3	-4	-3	0	5

Completando la gráfica obtengo:

Actividades resueltas

Dada la parábola y = x² - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de los puntos de la figura:

a.   Del punto y = 3'5 ² - 4·3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).

b.   Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola, no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de B.

c.   El punto C(x,y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como también es un punto de la parábola, verificará y = 0² - 4·0 + 3 = 3 .Luego C = (0,3).

d.   D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la parábola:

, que nos proporciona las soluciones aproximadas x = -0'45 y x = 4'45 . Observando la gráfica se concluye que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?). Luego D = (4'45,5).

e.   Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma (x,0) y por ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x² - 4x + 3 = 0 , cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F = (3,0).

f.   Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x,y) es el punto medio del segmento , es decir, . Sustituyendo este valor en la ecuación de la parábola, obtenemos su segunda coordenada y = 2² - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).

g.   Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está "justo encima" de H.

Como x = 5, entonces y = 5² - 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 , es decir, H´= (5,8). H tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto, H = (5,2).

h.   Calculamos las coordenadas del punto I´(x,7) que está en la parábola "justo a la derecha" de I. Como pertenece a la parábola , cuyas soluciones aproximadas son x = -0'88 y x = 4'83. I tiene la misma ordenada 7 y su abscisa es 4'2 unidades menos que la abscisa de I´, es decir, I = (0'63,7).
Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el punto C de la parábola

y = x²- x + 1 .

a.   A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto que A pertenece a la parábola, y = 0²- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).

b.   B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x²- x + 1; 0 = x²- x, 0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).

c.   La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento de extremos 0 y 1, es decir, . La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)²- 0'5 + 1 = 0'75. Las coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75).

d.   Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la 1ª coordenada de C, x = 2. Por lo tanto,

y = 2²-2+1=3. C = (2,3).

Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación y = ax²+ bx + c y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata.

Obtención general del vértice

Sea la parábola y = ax² + bx + c

Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema .

Igualando:

a x² + b x + c = c → a x² + b x = 0 → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a.

La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es decir, p = - b/2a

Ejemplo

Si f(x) = x² + 4 x + 3, entonces y f(2) = -1. Y el vértice será V = (2,-1).